Altri tipi di equazioni di secondo grado

Abbiamo visto che le equazioni di secondo grado in una sola variabile x, ridotte in forma normale, presentano generalmente la forma standard:

Esistono tuttavia altre forme non standard che possiamo così classificare in base al valore dei coefficienti:

Inoltre, quando un'equazione presenta la variabile x al denominatore di una frazione, abbiamo un altro tipo di equazione non standard, detta equazione frazionaria.

L'equazione monomia si presenta nella forma:

con .

E' chiaro che l'unico valore di x che annulla il primo membro è:

Se consideriamo la funzione:

Poiché per , abbiamo visto che l'unica soluzione possibile è:

il grafico della funzione sarà una parabola il cui vertice interseca l'origine degli assi cartesiani, ovvero il punto in cui sia l'ascissa che l'ordinata sono uguali a zero:

L'equazione spuria si presenta nella forma:

con .

Per risolvere l'equazione, mettiamo in evidenza il fattore comune ai due monomi, ovvero x:

Perché l'uguaglianza sia valida, deve verificarsi una delle seguenti condizioni, o entrambe:

La seconda condizione è un'equazione di primo grado che avrà come sola radice:

Dunque un'equazione spuria avrà sempre due radici distinte, di cui una è nulla:

Se consideriamo la funzione:

Poiché per , abbiamo due possibili radici, di cui una è uguale a zero, il grafico della funzione sarà una parabola che interseca l'asse delle X in due punti, di cui uno è l'origine degli assi:

L'equazione pura si presenta nella forma:

con .

Per risolvere l'equazione, portiamo il termine noto al secondo membro e poi dividiamo entrambi i membri per a:

Si tratta ora di trovare quel numero reale che elevato al quadrato dia come risultato .

Possono verificarsi due condizioni:

Per non esistono soluzioni reali:

ovvero non esiste alcun numero reale il cui quadrato dia un numero negativo.

Se consideriamo la funzione:

con

il grafico della funzione sarà una parabola che non interseca l'asse delle X:

Per esistono due soluzioni reali distinte:

ovvero esistono due numeri reali, tra loro opposti, che elevati al quadrato danno come risultato

Se consideriamo la funzione:

con

il grafico della funzione sarà una parabola simmetrica rispetto all'asse delle Y e che interseca l'asse delle X in due punti con ascisse opposte, ovvero con :

Le equazioni frazionarie sono equazioni che presentano l'incognita x anche al denominatore di frazioni algebriche. Ovviamente, in tal caso, prima di risolvere l'equazione bisogna prima escludere tutti i valori della x che annullerebbero i denominatori.

Le equazioni frazionarie si risolvono come le equazioni intere se moltiplichiamo prima entrambi i membri dell'uguaglianza per un multiplo comune dei denominatori.